Ωραία συνέντευξη του Δημήτρη Κουκουλόπουλου στην Καθημερινή εδώ. Οπωσδήποτε να διαβάσετε τις δύο πρώτες παραγράφους, και όχι μόνο.
Τετάρτη 21 Αυγούστου 2019
Ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος έλυσε την εικασία Duffin-Schaeffer - mathematica.gr
Ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος έλυσε την εικασία Duffin-Schaeffer - mathematica.gr
Τρίτη 13 Αυγούστου 2019
Εφαρμοσμένη τριγωνομετρία!
https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=2656994377668049&id=601278736572967&sfnsn=mo
Παρασκευή 12 Ιουλίου 2019
To πρόβλημα των ζυγίσεων του H.Steinhaus
Πηγή:
Αν είχατε δυο σώματα,θα τα καταφέρνατε με μια μόνο ζύγιση. Για τρία σώματα χρειάζονται τρεις ζυγίσεις. Η πρώτη θα δείχνει ποιο από τα σώματα Α και Β είναι βαρύτερο, εάν είναι το Α,η δεύτερη ζύγιση σας δείχνει ποιο από τα A και Γ είναι βαρύτερο.Εάν το Α είναι βαρύτερο από το Γ, είναι απαραίτητη και τρίτη ζύγιση για την σύγκριση των Β και Γ.
Για τέσσερα σώματα, το πρόβλημα παραμένει απλό, χρειάζονται 5 ζυγίσεις.
Από 5 σώματα και πάνω το πράγμα αρχίζει και ζορίζει.
Τα 5 σώματα μπορεί να διαταχθούν κατά αυξανόμενο βάρος με επτά ζυγίσεις το πολύ:
1η ζύγιση : Συγκρίνουμε το Α με το Β και υποθέτουμε ότι το Β είναι πιο βαρύ. ( Α<Β)
2η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Γ με το Δ και υποθέτουμε ότι το Δ είναι βαρύτερο (Γ<Δ)
3η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Β με το Δ έστω ότι το Δ είναι βαρύτερο ( Β<Δ)
4η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Β με το Ε .
5η ζύγιση: Εάν το Ε είναι πιο βαρύ από το Β, συγκρίνουμε το Ε με το Δ. Εάν αντίθετα είναι ελαφρύτερο από το Β, τότε το συγκρίνουμε με το Α.
Η πέμπτη ζύγιση μας επιτρέπει να κατατάξουμε τα τέσσερα αντικείμενα Α,Β,Ε,Δ κατά αύξουσα σειρά. Γνωρίζουμε όμως από την δεύτερη ζύγιση ότι το Γ είναι πιο ελαφρύ από το Δ. Ας υποθέσουμε ότι το αποτέλεσμα της πέμπτης ζύγισης είναι: Δ>Β>Ε>Α. Απομένει η κατάταξη του Γ σε σχέση με τα Β,Ε και Α, πράγμα που θα επιτύχουμε με δυο ακόμα ζυγίσεις.
6η ζύγιση:Συγκρίνουμε το Γ με το Ε.
7η ζύγιση:Αν το Γ είναι πιο βαρύ από το Ε, συγκρίνουμε το Γ με το Β. Εάν το Γ είναι ελαφρύτερο από το Ε, το συγκρίνουμε με το Α.
Ο Hugo Steinhaus επανεξέτασε το πρόβλημα,το 1968,και δίνει ένα πινάκα στον οποίο αποφαίνεται για τον ελάχιστο αριθμό ζυγίσεων που απαιτούνται για την διάταξη ν αντικείμενων όπου ν=1,….,11 (εικόνα)
Το παραπάνω πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να μας ζητηθεί για ν αριθμό παικτών στο τένις να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό παιχνιδιών που πρέπει να δώσουν για να έχουμε την τελική κατάταξη.
Για τέσσερα σώματα, το πρόβλημα παραμένει απλό, χρειάζονται 5 ζυγίσεις.
Από 5 σώματα και πάνω το πράγμα αρχίζει και ζορίζει.
Τα 5 σώματα μπορεί να διαταχθούν κατά αυξανόμενο βάρος με επτά ζυγίσεις το πολύ:
1η ζύγιση : Συγκρίνουμε το Α με το Β και υποθέτουμε ότι το Β είναι πιο βαρύ. ( Α<Β)
2η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Γ με το Δ και υποθέτουμε ότι το Δ είναι βαρύτερο (Γ<Δ)
3η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Β με το Δ έστω ότι το Δ είναι βαρύτερο ( Β<Δ)
4η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Β με το Ε .
5η ζύγιση: Εάν το Ε είναι πιο βαρύ από το Β, συγκρίνουμε το Ε με το Δ. Εάν αντίθετα είναι ελαφρύτερο από το Β, τότε το συγκρίνουμε με το Α.
Η πέμπτη ζύγιση μας επιτρέπει να κατατάξουμε τα τέσσερα αντικείμενα Α,Β,Ε,Δ κατά αύξουσα σειρά. Γνωρίζουμε όμως από την δεύτερη ζύγιση ότι το Γ είναι πιο ελαφρύ από το Δ. Ας υποθέσουμε ότι το αποτέλεσμα της πέμπτης ζύγισης είναι: Δ>Β>Ε>Α. Απομένει η κατάταξη του Γ σε σχέση με τα Β,Ε και Α, πράγμα που θα επιτύχουμε με δυο ακόμα ζυγίσεις.
6η ζύγιση:Συγκρίνουμε το Γ με το Ε.
7η ζύγιση:Αν το Γ είναι πιο βαρύ από το Ε, συγκρίνουμε το Γ με το Β. Εάν το Γ είναι ελαφρύτερο από το Ε, το συγκρίνουμε με το Α.
Ο Hugo Steinhaus επανεξέτασε το πρόβλημα,το 1968,και δίνει ένα πινάκα στον οποίο αποφαίνεται για τον ελάχιστο αριθμό ζυγίσεων που απαιτούνται για την διάταξη ν αντικείμενων όπου ν=1,….,11 (εικόνα)
Το παραπάνω πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να μας ζητηθεί για ν αριθμό παικτών στο τένις να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό παιχνιδιών που πρέπει να δώσουν για να έχουμε την τελική κατάταξη.
Σάββατο 29 Ιουνίου 2019
Τρίτη 30 Απριλίου 2019
(14) 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1 - mathematica.gr
(14) 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1 - mathematica.gr
Πρόβλημα 1
α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,c,d$ ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$. Να αποδειχθεί ότι:
$ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) \leq \frac{8}{27}$.
β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών $(a,b,c,d)$ , ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα.
Πρόβλημα 1
α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,c,d$ ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$. Να αποδειχθεί ότι:
$ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) \leq \frac{8}{27}$.
β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών $(a,b,c,d)$ , ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα.
Τετάρτη 24 Απριλίου 2019
Ανισότητα υπό συνθήκη
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=27&t=64335 Έστω $\displaystyle x,y$ δύο θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει $\displaystyle {x^2} + {y^2} + x \ge {x^4} + {y^4} + {x^3}$.
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}$
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}$
Ανισότητα υπό συνθήκη
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=27&t=64335 Έστω $\displaystyle x,y$ δύο θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει $\displaystyle {x^2} + {y^2} + x \ge {x^4} + {y^4} + {x^3}$.
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}$
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}$
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)