Παρασκευή, 12 Ιουλίου 2019

To πρόβλημα των ζυγίσεων του H.Steinhaus

Πηγή:

Αν είχατε δυο σώματα,θα τα καταφέρνατε με μια μόνο ζύγιση. Για τρία σώματα χρειάζονται τρεις ζυγίσεις. Η πρώτη θα δείχνει ποιο από τα σώματα Α και Β είναι βαρύτερο, εάν είναι το Α,η δεύτερη ζύγιση σας δείχνει ποιο από τα A και Γ είναι βαρύτερο.Εάν το Α είναι βαρύτερο από το Γ, είναι απαραίτητη και τρίτη ζύγιση για την σύγκριση των Β και Γ.
Για τέσσερα σώματα, το πρόβλημα παραμένει απλό, χρειάζονται 5 ζυγίσεις.
Από 5 σώματα και πάνω το πράγμα αρχίζει και ζορίζει.
Τα 5 σώματα μπορεί να διαταχθούν κατά αυξανόμενο βάρος με επτά ζυγίσεις το πολύ:
1η ζύγιση : Συγκρίνουμε το Α με το Β και υποθέτουμε ότι το Β είναι πιο βαρύ. ( Α<Β)
2η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Γ με το Δ και υποθέτουμε ότι το Δ είναι βαρύτερο (Γ<Δ)
3η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Β με το Δ έστω ότι το Δ είναι βαρύτερο ( Β<Δ)
4η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Β με το Ε .
5η ζύγιση: Εάν το Ε είναι πιο βαρύ από το Β, συγκρίνουμε το Ε με το Δ. Εάν αντίθετα είναι ελαφρύτερο από το Β, τότε το συγκρίνουμε με το Α.
Η πέμπτη ζύγιση μας επιτρέπει να κατατάξουμε τα τέσσερα αντικείμενα Α,Β,Ε,Δ κατά αύξουσα σειρά. Γνωρίζουμε όμως από την δεύτερη ζύγιση ότι το Γ είναι πιο ελαφρύ από το Δ. Ας υποθέσουμε ότι το αποτέλεσμα της πέμπτης ζύγισης είναι: Δ>Β>Ε>Α. Απομένει η κατάταξη του Γ σε σχέση με τα Β,Ε και Α, πράγμα που θα επιτύχουμε με δυο ακόμα ζυγίσεις.
6η ζύγιση:Συγκρίνουμε το Γ με το Ε.
7η ζύγιση:Αν το Γ είναι πιο βαρύ από το Ε, συγκρίνουμε το Γ με το Β. Εάν το Γ είναι ελαφρύτερο από το Ε, το συγκρίνουμε με το Α.
Ο Hugo Steinhaus επανεξέτασε το πρόβλημα,το 1968,και δίνει ένα πινάκα στον οποίο αποφαίνεται για τον ελάχιστο αριθμό ζυγίσεων που απαιτούνται για την διάταξη ν αντικείμενων όπου ν=1,….,11 (εικόνα)
Το παραπάνω πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να μας ζητηθεί για ν αριθμό παικτών στο τένις να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό παιχνιδιών που πρέπει να δώσουν για να έχουμε την τελική κατάταξη.
Image may contain: 1 person

Τρίτη, 30 Απριλίου 2019

(14) 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1 - mathematica.gr

(14) 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1 - mathematica.gr



Πρόβλημα 1

α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,c,d$ ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$. Να αποδειχθεί ότι:



$ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) \leq \frac{8}{27}$.



β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών $(a,b,c,d)$ , ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα.

Τετάρτη, 24 Απριλίου 2019

Ανισότητα υπό συνθήκη

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=27&t=64335 Έστω $\displaystyle x,y$ δύο θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει $\displaystyle {x^2} + {y^2} + x \ge {x^4} + {y^4} + {x^3}$.
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}$

Ανισότητα υπό συνθήκη

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=27&t=64335 Έστω $\displaystyle x,y$ δύο θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει $\displaystyle {x^2} + {y^2} + x \ge {x^4} + {y^4} + {x^3}$.
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}$