Δευτέρα, 31 Δεκεμβρίου 2018

Μαθηματικό περιοδικό ΜΕΛΕΤΗ τεύχος 4 Δεκέμβριος 2018

Περιοδικό Μελέτη Τεύχος 4

Διαβάστε το τέταρτο τεύχος του Μαθηματικού περιοδικού ΜΕΛΕΤΗ του www.mathematica.gr
Κατεβάστε από εδώ ή εδώ.
Στείλτε και εσείς τα άρθρα σας στο  meleti@mathematica.gr.
Αν είσαι μαθητής και θέλεις να γράψεις στο περιοδικό επικοινώνησε στην παραπάνω διεύθυνση ηλεκτρονικού ταχυδρομείου.
Όλα τα τεύχη του περιοδικού διαθέσιμα στο http://www.mathematica.gr/meleti/

Σάββατο, 8 Σεπτεμβρίου 2018

Λειτουργία Ομίλου Μαθηματικών ΠΠ ΓΕΛ Ευαγγελικής 2018-19

 ΝΕΟ: ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΗ ΦΟΡΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΜΙΛΟΥ ΕΔΩ.

Χώρος: Αίθουσα 5 Προτύπου ΓΕΛ Ευαγγελικής
Ημέρα: Δευτέρα ή Πέμπτη, κατόπιν συνεννόησης με τους ενδιαφερόμενους
Ώρα: 14:30 - 16:00
Συμμετέχοντες: Μαθητές Α΄ ή Β΄λυκείου (για την Γ΄λυκείου ή μαθητές της Β΄λυκείου που συμμετείχαν και πέρυσι θα υπάρξει άλλη ημέρα).
Υπεύθυνος Καθηγητής: Σωτήρης Χασάπης

Οργάνωση:
1. Τίθενται προβλήματα από τον συντονιστή καθηγητή ή τους μαθητές και γίνεται συζήτησή τους στην τάξη.
2. Ο συντονιστής ή κάποιος μαθητής αναλαμβάνει να παρουσιάσει την πρόσθετη θεωρία που πιθανώς θα προκύψει ως αναγκαία για το πρόβλημα.

3. Παρουσιάζονται επιλεγμένα προβλήματα από τον συντονιστή και η σχετική θεωρία, τα οποία επιλύονται στην τάξη.

Τα προβλήματα μπορεί να είναι οτιδήποτε αφορά:
α. Μαθηματικές θεωρίες εντός ή εκτός σχολικού προγράμματος
β.  Θέματα διαγωνισμών.
γ. Γρίφοι.
δ. Καθημερινής πρακτικής και χρήσης.
ε. Άλλα ενδιαφέροντα θέματα (τα Μαθηματικά χωρούν παντού!).

Άλλες δραστηριότητες(προαιρετικές) του ομίλου:

1. Συμμετοχή σε σχετικές με Μαθηματικά εκδηλώσεις(πχ http://euromath.org/assets/files/2015/participantslist/EUROMATHList(updated20March2015).pdf σελ.4, Μουσείο Ηρακλειδών , Ι.Μ.Ε. ).
2. Συγγραφή εργασιών ή άρθρων σε περιοδικά - διαδικτυακές πλατφόρμες Μαθηματικών (http://www.mathematica.gr/meleti/meleti2.pdf σελ.30, http://www.mathematica.gr/icosidodecahedron17.pdf ,  ή και στο νέο περιοδικό: http://math2gr.blogspot.com/ )
3. Συμμετοχή σε Διαγωνισμούς Μαθηματικών της Ε.Μ.Ε. (http://users.sch.gr/shasapis/autosch/joomla15/index.php/diagonismoimenu )
4. Προσκεκλημένοι Εξωτερικοί Ομιλητές.
5. Διδακτικές επισκέψεις. 




Σχετικές σελίδες - εργαλεία: 
 Τα νέα του ομίλου - ενδιαφέροντα προβλήματα
  • https://mathwiki.allmath.gr/mw19/index.php/Main_Page
Οργάνωση Μαθηματικού περιεχομένου - προετοιμασία για διαγωνισμούς.
Σημειώσεις συναντήσεων στην τάξη (pdf, πίνακες).
Εταιρεία Μαθηματικών Κύκλων και Ομίλων
Προσωπική σελίδα συντονιστή
(επικοινωνία με συντονιστή στο shasapis παπακι gmail τελίτσα gr)
Σελίδα σχολείου
Ηλεκτρονική τάξη του ομίλου





Πέμπτη, 9 Αυγούστου 2018

Όμοια τρίγωνα ! (86) Κριτήριο ομοιότητας - mathematica.gr


Κριτήριο ομοιότητας.png
Κριτήριο ομοιότητας.png (11.73 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές
Τα τρίγωνα ABC, A_1B_1C_1 έχουν διαμέσους AM, A_1M_1 αντίστοιχα και B\widehat AM=B_1\widehat A_1M_1, M\widehat AC=M_1\widehat A_1C_1. 

Είναι τα τρίγωνα αυτά όμοια; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 







(86) Κριτήριο ομοιότητας - mathematica.gr

Τετάρτη, 9 Μαΐου 2018

Παλινδρομοι αριθμοί και θετικοί ακέραιοι

Θυμάστε που μιλισαμε για παλινδρομους αριθμούς?
Ισχύει ότι :

Κάθε θετικός ακέραιος γράφεται ως άθροισμα τριών παλινδρομων αριθμών!

Χρησιμοποιείστε την επο. Ενη σελίδα για να το διαπιστώσετε!

http://somethingorotherwhatever.com/sum-of-3-palindromes/

Σάββατο, 28 Απριλίου 2018

Παλινδρόμηση ευθείας με μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων


Ξεκινώντας από ένα πείραμα Χημείας... Οι μαθητές μελετούν και παίρνουν μετρήσεις για ένα πρόβλημα Χημείας, στις οποίες γνωρίζουν ότι πρέπει να προσαρμόσουν μία ευθεία... Μελετήστε πρώτα τις σχετικές σημειώσεις για επιλογή γραμμής παλινδρόμησης ή πολυωνυμικής παρεμβολής εδώ. Θυμηθείτε ότι οι πλήρεις σημειώσεις και πίνακες του ομίλου ανεβαίνουν στην ηλεκτρονική τάξη εδώ: http://allmath.gr/eclass/ . Καλή διασκέδαση.

Κυριακή, 4 Μαρτίου 2018

Παλινδρομικοί Αριθμοί Μία κατασκευή.

Ένας αριθμός λέγεται παλινδρομικός, αν αντιστρέψουμε τη σειρά των ψηφίων του και παραμένει ο ίδιος.

Για παράδειγμα οι αριθμοί: 131, 122232221, 4554 κλπ είναι παλινδρομικοί.

Μία μέθοδος κατασκευής παλινδρομικών αριθμών είναι η ακόλουθη:
Θεωρείστε ένα αριθμό πχ 47, γράψτε τον ανάποδα και προσθέστε:
47 + 74 = 121 και έχετε ένα παλινδρομικό.
Αν αυτό δε συμβεί στο πρώτο βήμα, επαναλάβετε τη διαδικασία:
87 +78 = 165
165 +561 =726
726 + 627 = 1353
1353 +3531 = 4884

και νάτο!

Μία εικασία είναι ότι αυτή η διαδικασία τερματίζει σε πεπερασμένο πλήθος
βημάτων σε παλινδρομικό αριθμό πάντα!
Μπορείτε να την επαληθεύσετε ή να την αναιρέσετε;
Μπορείτε να βρείτε αριθμούς που πιθανόν να μην την ικανοποιούν ή να μην μπορείτε εύκολα, σε λίγα βήματα, να επαληθεύσετε ότι την ικανοποιούν;

Διαβάστε για τους παλινδρομικούς αριθμούς :

https://en.wikipedia.org/wiki/Palindromic_number

http://ijpam.eu/contents/2012-80-3/9/9.pdf

Σάββατο, 3 Φεβρουαρίου 2018

Κυριακή, 28 Ιανουαρίου 2018

«Ρυθμίζοντας» τα αποτελέσματα των εκλογών...

Χωρίζοντας κατάλληλα τις εκλογικές περιφέρειες είναι δυνατόν να οριστεί από το εκλογικό σύστημα ο νικητής!

Δείτε το επόμενο παράδειγμα.

Το 60% των ψηφοφόρων έχουν ψηφίσει μπλε και το 40% κόκκινο. Υπό φυσιολογικές συνθήκες νικητής θα έπρεπε να είναι ο μπλε.

Πράγματι, στο χωρισμό των περιφερειών στη μεσαία στήλη κερδίζει ο μπλε.

Αλλά στο χωρισμό των περιφερειών στη δεξιά στήλη, όπου οι περιφέρειες είναι ισοπληθής (10), κερδίζει ο κόκκινος!



(1) Facebook



https://scontent.fath3-1.fna.fbcdn.net/v/t1.0-9/19554534_2243782458981306_3720053937090999012_n.jpg?oh=29efaf4bef6eb97e7958648f8a63ce2d&oe=5AD826A7

Φωτογραφία του χρήστη A Map A Day.

Σάββατο, 13 Ιανουαρίου 2018

Μία γραφή των πρώτων αριθμών

Κάθε πρώτος αριθμός $p$ γράφεται στη μορφή: $p\cong 1(mod6)$ ή $p \cong 5(mod6)$.

Δηλαδή, στη διαίρεσή του με το $6$ ένας πρώτος θα αφήνει υπόλοιπο 1 ή 5.

Πράγματι, θεωρούμε ότι $p$ είναι πρώτος και διαιρούμε με το $6$.
Έχουμε $p = 6k + y$ με το υπόλοιπο $y =0,1,2,3,4,5$.
 Και έχουμε σε κάθε περίπτωση:
Αν $y=0$ τότε $p = 6k$ που δεν είναι πρώτος.
Αν $y=1$ τότε $p = 6k+1$ που ΜΠΟΡΕΙ να είναι πρώτος.
Αν $y=2$ τότε $p = 6k+2$ που δεν είναι πρώτος.
Αν $y=3$ τότε $p = 6k+3$ που δεν είναι πρώτος.
 Αν $y=4$ τότε $p = 6k+4$ που δεν είναι πρώτος.
Αν $y=5$ τότε $p = 6k+5$ που ΜΠΟΡΕΙ να είναι πρώτος.

Για τις δύο περιπτώσεις γράφουμε ότι ΜΠΟΡΕΙ να είναι πρώτος, διότι μπορεί και να μην είναι.
Για παράδειγμα: $p = 6k +1$ για $k=3, p =19$ πρώτος, αλλά για $k=4, p= 25 $ σύνθετος !
Έτσι, οι δύο παραπάνω μορφές περιέχουν όλους τους πρώτους, αλλά και πολλούς σύνθετους αριθμούς.

Πάντως είναι βέβαιο ότι αν είναι πρώτος τότε σίγουρα δεν μπορεί να έχει υπόλοιπο $0,2,3,4$.

Διαιρείται με το 7;

Να αποδειχθεί ότι αν ο αριθμός $n$ δεν είναι πολλαπλάσιο του $3$, τότε ο αριθμός $2^{2n} +2^n + 1$ είναι πολλαπλάσιο του $7$.

Θα εργαστούμε με βάση τα υπόλοιπα του $n mod(3)$.
Έστω $n=3m +1$, τότε έχουμε:
$2^{2n} = 2^{6m+2} = 2^2 \cdot (2^3)^{2m} \cong 4 \cdot 1 (mod7)$
Ακόμα:
$2^n = 2^{3m +1} = 2 \cdot 2^{3m} = 2 \cdot (2^3)^m \cong 2 \cdot 1(mod7)$
Συνεπώς: $2^{2n} + 2^n + 1 \cong (4 +2 +1)(mod7) \cong 0(mod7).$
το οποίο είναι το ζητούμενο.
Ομοίως συμβαίνει και για την περίπτωση $n=3m +2$.

Κυριακή, 7 Ιανουαρίου 2018

Ανεξαρτήτως συστήματος αρίθμησης

Να αποδειχθεί ότι σε οποιοδήποτε σύστημα αρίθμησης με βάση $a \geq 2$ οι αριθμοί:
$10101, 101010101, 10101010101010101, ...$ είναι σύνθετοι.

Υπενθυμίζεται ότι στα συστήματα αρίθμησης θέσης, με βάση $a$ ισχύει ότι:
$a_n a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_2 a_1 = a_1 + a_2 \cdot a + a_3 \cdot a^2 + \cdots + a_n \cdot a^n$

Οπότε αντίστοιχα θα έχουμε:

$10101 = 1 \cdot a^0 + 0 \cdot a + 1 \cdot a^2 + 0 \cdot a^3 + 1\cdot a^4$

$101010101 = 1 \cdot a^0 + 0 \cdot a + 1 \cdot a^2 + 0 \cdot a^3 + 1\cdot a^4 + 0 \cdot a^5 + 1 \cdot a^6 + 0 \cdot a^7 + 1 \cdot a^8$

 Και γενικά καθένας από τους αριθμούς αυτούς θα γράφεται:

$m_n = 1 + a^2 + a^4 + a^6 + a^8 + \cdots + a^{4n} $

που αποτελεί άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου:

$m_n = \frac{a^{4n +2} -1 }{a^2 -1} =\frac{a^{2n+1} -1}{a-1}\cdot \frac{a^{2n+1}+1}{a+1} =$

$= \left( a^{2n} + a^{2n-1} + \cdots +a^2 + a +1\right) \left( a^{2n} - a^{2n-1} + a^{2n-2} -\cdots +1 \right)$

Οπότε πράγματι ο $m_n$ είναι σύνθετος, αφού εύκολα ελέγχεται ότι ο αριστερός διαιρέτης είναι μεγαλύτερος της μονάδας και μικρότερός του.