Να αποδειχθεί ότι σε οποιοδήποτε σύστημα αρίθμησης με βάση a \geq 2 οι αριθμοί:
10101, 101010101, 10101010101010101, ... είναι σύνθετοι.
Υπενθυμίζεται ότι στα συστήματα αρίθμησης θέσης, με βάση a ισχύει ότι:
a_n a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_2 a_1 = a_1 + a_2 \cdot a + a_3 \cdot a^2 + \cdots + a_n \cdot a^n
Οπότε αντίστοιχα θα έχουμε:
10101 = 1 \cdot a^0 + 0 \cdot a + 1 \cdot a^2 + 0 \cdot a^3 + 1\cdot a^4
101010101 = 1 \cdot a^0 + 0 \cdot a + 1 \cdot a^2 + 0 \cdot a^3 + 1\cdot a^4 + 0 \cdot a^5 + 1 \cdot a^6 + 0 \cdot a^7 + 1 \cdot a^8
Και γενικά καθένας από τους αριθμούς αυτούς θα γράφεται:
m_n = 1 + a^2 + a^4 + a^6 + a^8 + \cdots + a^{4n}
που αποτελεί άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου:
m_n = \frac{a^{4n +2} -1 }{a^2 -1} =\frac{a^{2n+1} -1}{a-1}\cdot \frac{a^{2n+1}+1}{a+1} =
= \left( a^{2n} + a^{2n-1} + \cdots +a^2 + a +1\right) \left( a^{2n} - a^{2n-1} + a^{2n-2} -\cdots +1 \right)
Οπότε πράγματι ο m_n είναι σύνθετος, αφού εύκολα ελέγχεται ότι ο αριστερός διαιρέτης είναι μεγαλύτερος της μονάδας και μικρότερός του.
10101, 101010101, 10101010101010101, ... είναι σύνθετοι.
Υπενθυμίζεται ότι στα συστήματα αρίθμησης θέσης, με βάση a ισχύει ότι:
a_n a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_2 a_1 = a_1 + a_2 \cdot a + a_3 \cdot a^2 + \cdots + a_n \cdot a^n
Οπότε αντίστοιχα θα έχουμε:
10101 = 1 \cdot a^0 + 0 \cdot a + 1 \cdot a^2 + 0 \cdot a^3 + 1\cdot a^4
101010101 = 1 \cdot a^0 + 0 \cdot a + 1 \cdot a^2 + 0 \cdot a^3 + 1\cdot a^4 + 0 \cdot a^5 + 1 \cdot a^6 + 0 \cdot a^7 + 1 \cdot a^8
Και γενικά καθένας από τους αριθμούς αυτούς θα γράφεται:
m_n = 1 + a^2 + a^4 + a^6 + a^8 + \cdots + a^{4n}
που αποτελεί άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου:
m_n = \frac{a^{4n +2} -1 }{a^2 -1} =\frac{a^{2n+1} -1}{a-1}\cdot \frac{a^{2n+1}+1}{a+1} =
= \left( a^{2n} + a^{2n-1} + \cdots +a^2 + a +1\right) \left( a^{2n} - a^{2n-1} + a^{2n-2} -\cdots +1 \right)
Οπότε πράγματι ο m_n είναι σύνθετος, αφού εύκολα ελέγχεται ότι ο αριστερός διαιρέτης είναι μεγαλύτερος της μονάδας και μικρότερός του.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου