Διαιρείται με το 7;

Να αποδειχθεί ότι αν ο αριθμός $n$ δεν είναι πολλαπλάσιο του $3$, τότε ο αριθμός $2^{2n} +2^n + 1$ είναι πολλαπλάσιο του $7$.

Θα εργαστούμε με βάση τα υπόλοιπα του $n mod(3)$.
Έστω $n=3m +1$, τότε έχουμε:
$2^{2n} = 2^{6m+2} = 2^2 \cdot (2^3)^{2m} \cong 4 \cdot 1 (mod7)$
Ακόμα:
$2^n = 2^{3m +1} = 2 \cdot 2^{3m} = 2 \cdot (2^3)^m \cong 2 \cdot 1(mod7)$
Συνεπώς: $2^{2n} + 2^n + 1 \cong (4 +2 +1)(mod7) \cong 0(mod7).$
το οποίο είναι το ζητούμενο.
Ομοίως συμβαίνει και για την περίπτωση $n=3m +2$.