Processing math: 100%

Εμφανίσεις - Επιτυχίες μαθητών του Ομίλου Μαθηματικών

Σάββατο 13 Ιανουαρίου 2018

Μία γραφή των πρώτων αριθμών

Κάθε πρώτος αριθμός p γράφεται στη μορφή: p\cong 1(mod6) ή p \cong 5(mod6).

Δηλαδή, στη διαίρεσή του με το 6 ένας πρώτος θα αφήνει υπόλοιπο 1 ή 5.

Πράγματι, θεωρούμε ότι p είναι πρώτος και διαιρούμε με το 6.
Έχουμε p = 6k + y με το υπόλοιπο y =0,1,2,3,4,5.
 Και έχουμε σε κάθε περίπτωση:
Αν y=0 τότε p = 6k που δεν είναι πρώτος.
Αν y=1 τότε p = 6k+1 που ΜΠΟΡΕΙ να είναι πρώτος.
Αν y=2 τότε p = 6k+2 που δεν είναι πρώτος.
Αν y=3 τότε p = 6k+3 που δεν είναι πρώτος.
 Αν y=4 τότε p = 6k+4 που δεν είναι πρώτος.
Αν y=5 τότε p = 6k+5 που ΜΠΟΡΕΙ να είναι πρώτος.

Για τις δύο περιπτώσεις γράφουμε ότι ΜΠΟΡΕΙ να είναι πρώτος, διότι μπορεί και να μην είναι.
Για παράδειγμα: p = 6k +1 για k=3, p =19 πρώτος, αλλά για k=4, p= 25 σύνθετος !
Έτσι, οι δύο παραπάνω μορφές περιέχουν όλους τους πρώτους, αλλά και πολλούς σύνθετους αριθμούς.

Πάντως είναι βέβαιο ότι αν είναι πρώτος τότε σίγουρα δεν μπορεί να έχει υπόλοιπο 0,2,3,4.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου