Σάββατο 21 Δεκεμβρίου 2019
Πέμπτη 19 Δεκεμβρίου 2019
Δευτέρα 16 Δεκεμβρίου 2019
Κυριακή 15 Δεκεμβρίου 2019
Σάββατο 2 Νοεμβρίου 2019
Πέμπτη 31 Οκτωβρίου 2019
Κυριακή 15 Σεπτεμβρίου 2019
Όμιλος Μαθηματικών 2019 - 20
Χώρος: Αίθουσα 5 Προτύπου ΓΕΛ Ευαγγελικής
Ημέρα: Επιλέγεις ημέρα Πέμπτη ή/και Παρασκευή.
Ώρα: 14:30 - 16:00
Συμμετέχοντες: Μαθητές Α΄ ή Β΄λυκείου.
Υπεύθυνος Καθηγητής: Σωτήρης Χασάπης
Πέμπτη: Γενική θεματολογία ομίλου και βασικά θέματα Μαθηματικών Διαγωνισμών.
Παρασκευή: Προχωρημένα θέματα Μαθηματικών διαγωνισμών.
Οργάνωση:
1. Τίθενται προβλήματα από τον συντονιστή καθηγητή ή τους μαθητές και γίνεται συζήτησή τους στην τάξη.
2. Ο συντονιστής ή κάποιος μαθητής αναλαμβάνει να παρουσιάσει την πρόσθετη θεωρία που πιθανώς θα προκύψει ως αναγκαία για το πρόβλημα.
3. Παρουσιάζονται επιλεγμένα προβλήματα από τον συντονιστή και η σχετική θεωρία, τα οποία επιλύονται στην τάξη.
Τα προβλήματα μπορεί να είναι οτιδήποτε αφορά:
α. Μαθηματικές θεωρίες εντός ή εκτός σχολικού προγράμματος
β. Θέματα διαγωνισμών.
γ. Γρίφοι.
δ. Καθημερινής πρακτικής και χρήσης.
ε. Άλλα ενδιαφέροντα θέματα (τα Μαθηματικά χωρούν παντού!).
Άλλες δραστηριότητες(προαιρετικές) του ομίλου:
1. Συμμετοχή σε σχετικές με Μαθηματικά εκδηλώσεις(πχ http://euromath.org/assets/files/2015/participantslist/EUROMATHList(updated20March2015).pdf σελ.4, Μουσείο Ηρακλειδών , Ι.Μ.Ε. ).
2. Συγγραφή εργασιών ή άρθρων σε περιοδικά - διαδικτυακές πλατφόρμες Μαθηματικών (http://www.mathematica.gr/meleti/meleti2.pdf σελ.30, http://www.mathematica.gr/icosidodecahedron17.pdf , ή και στο νέο περιοδικό: http://math2gr.blogspot.com/ )
3. Συμμετοχή σε Διαγωνισμούς Μαθηματικών της Ε.Μ.Ε. (http://users.sch.gr/shasapis/autosch/joomla15/index.php/diagonismoimenu )
4. Προσκεκλημένοι Εξωτερικοί Ομιλητές.
5. Διδακτικές επισκέψεις.
Σχετικές σελίδες - εργαλεία:
Τα νέα του ομίλου - ενδιαφέροντα προβλήματα
- https://mathwiki.allmath.gr/mw19/index.php/Main_Page
Σημειώσεις συναντήσεων στην τάξη (pdf, πίνακες).
Εταιρεία Μαθηματικών Κύκλων και Ομίλων
Προσωπική σελίδα συντονιστή
(επικοινωνία με συντονιστή στο shasapis παπακι gmail τελίτσα gr)
Σελίδα σχολείου
Ηλεκτρονική τάξη του ομίλου
Τετάρτη 21 Αυγούστου 2019
Ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος έλυσε την εικασία Duffin-Schaeffer - mathematica.gr
Ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος έλυσε την εικασία Duffin-Schaeffer - mathematica.gr
Ωραία συνέντευξη του Δημήτρη Κουκουλόπουλου στην Καθημερινή εδώ. Οπωσδήποτε να διαβάσετε τις δύο πρώτες παραγράφους, και όχι μόνο.
Τρίτη 13 Αυγούστου 2019
Εφαρμοσμένη τριγωνομετρία!
https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=2656994377668049&id=601278736572967&sfnsn=mo
Παρασκευή 12 Ιουλίου 2019
To πρόβλημα των ζυγίσεων του H.Steinhaus
Πηγή:
Αν είχατε δυο σώματα,θα τα καταφέρνατε με μια μόνο ζύγιση. Για τρία σώματα χρειάζονται τρεις ζυγίσεις. Η πρώτη θα δείχνει ποιο από τα σώματα Α και Β είναι βαρύτερο, εάν είναι το Α,η δεύτερη ζύγιση σας δείχνει ποιο από τα A και Γ είναι βαρύτερο.Εάν το Α είναι βαρύτερο από το Γ, είναι απαραίτητη και τρίτη ζύγιση για την σύγκριση των Β και Γ.
Για τέσσερα σώματα, το πρόβλημα παραμένει απλό, χρειάζονται 5 ζυγίσεις.
Από 5 σώματα και πάνω το πράγμα αρχίζει και ζορίζει.
Τα 5 σώματα μπορεί να διαταχθούν κατά αυξανόμενο βάρος με επτά ζυγίσεις το πολύ:
1η ζύγιση : Συγκρίνουμε το Α με το Β και υποθέτουμε ότι το Β είναι πιο βαρύ. ( Α<Β)
2η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Γ με το Δ και υποθέτουμε ότι το Δ είναι βαρύτερο (Γ<Δ)
3η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Β με το Δ έστω ότι το Δ είναι βαρύτερο ( Β<Δ)
4η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Β με το Ε .
5η ζύγιση: Εάν το Ε είναι πιο βαρύ από το Β, συγκρίνουμε το Ε με το Δ. Εάν αντίθετα είναι ελαφρύτερο από το Β, τότε το συγκρίνουμε με το Α.
Η πέμπτη ζύγιση μας επιτρέπει να κατατάξουμε τα τέσσερα αντικείμενα Α,Β,Ε,Δ κατά αύξουσα σειρά. Γνωρίζουμε όμως από την δεύτερη ζύγιση ότι το Γ είναι πιο ελαφρύ από το Δ. Ας υποθέσουμε ότι το αποτέλεσμα της πέμπτης ζύγισης είναι: Δ>Β>Ε>Α. Απομένει η κατάταξη του Γ σε σχέση με τα Β,Ε και Α, πράγμα που θα επιτύχουμε με δυο ακόμα ζυγίσεις.
6η ζύγιση:Συγκρίνουμε το Γ με το Ε.
7η ζύγιση:Αν το Γ είναι πιο βαρύ από το Ε, συγκρίνουμε το Γ με το Β. Εάν το Γ είναι ελαφρύτερο από το Ε, το συγκρίνουμε με το Α.
Ο Hugo Steinhaus επανεξέτασε το πρόβλημα,το 1968,και δίνει ένα πινάκα στον οποίο αποφαίνεται για τον ελάχιστο αριθμό ζυγίσεων που απαιτούνται για την διάταξη ν αντικείμενων όπου ν=1,….,11 (εικόνα)
Το παραπάνω πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να μας ζητηθεί για ν αριθμό παικτών στο τένις να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό παιχνιδιών που πρέπει να δώσουν για να έχουμε την τελική κατάταξη.
Για τέσσερα σώματα, το πρόβλημα παραμένει απλό, χρειάζονται 5 ζυγίσεις.
Από 5 σώματα και πάνω το πράγμα αρχίζει και ζορίζει.
Τα 5 σώματα μπορεί να διαταχθούν κατά αυξανόμενο βάρος με επτά ζυγίσεις το πολύ:
1η ζύγιση : Συγκρίνουμε το Α με το Β και υποθέτουμε ότι το Β είναι πιο βαρύ. ( Α<Β)
2η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Γ με το Δ και υποθέτουμε ότι το Δ είναι βαρύτερο (Γ<Δ)
3η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Β με το Δ έστω ότι το Δ είναι βαρύτερο ( Β<Δ)
4η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Β με το Ε .
5η ζύγιση: Εάν το Ε είναι πιο βαρύ από το Β, συγκρίνουμε το Ε με το Δ. Εάν αντίθετα είναι ελαφρύτερο από το Β, τότε το συγκρίνουμε με το Α.
Η πέμπτη ζύγιση μας επιτρέπει να κατατάξουμε τα τέσσερα αντικείμενα Α,Β,Ε,Δ κατά αύξουσα σειρά. Γνωρίζουμε όμως από την δεύτερη ζύγιση ότι το Γ είναι πιο ελαφρύ από το Δ. Ας υποθέσουμε ότι το αποτέλεσμα της πέμπτης ζύγισης είναι: Δ>Β>Ε>Α. Απομένει η κατάταξη του Γ σε σχέση με τα Β,Ε και Α, πράγμα που θα επιτύχουμε με δυο ακόμα ζυγίσεις.
6η ζύγιση:Συγκρίνουμε το Γ με το Ε.
7η ζύγιση:Αν το Γ είναι πιο βαρύ από το Ε, συγκρίνουμε το Γ με το Β. Εάν το Γ είναι ελαφρύτερο από το Ε, το συγκρίνουμε με το Α.
Ο Hugo Steinhaus επανεξέτασε το πρόβλημα,το 1968,και δίνει ένα πινάκα στον οποίο αποφαίνεται για τον ελάχιστο αριθμό ζυγίσεων που απαιτούνται για την διάταξη ν αντικείμενων όπου ν=1,….,11 (εικόνα)
Το παραπάνω πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να μας ζητηθεί για ν αριθμό παικτών στο τένις να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό παιχνιδιών που πρέπει να δώσουν για να έχουμε την τελική κατάταξη.
Σάββατο 29 Ιουνίου 2019
Τρίτη 30 Απριλίου 2019
(14) 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1 - mathematica.gr
(14) 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1 - mathematica.gr
Πρόβλημα 1
α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,c,d$ ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$. Να αποδειχθεί ότι:
$ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) \leq \frac{8}{27}$.
β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών $(a,b,c,d)$ , ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα.
Πρόβλημα 1
α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,c,d$ ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$. Να αποδειχθεί ότι:
$ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) \leq \frac{8}{27}$.
β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών $(a,b,c,d)$ , ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα.
Τετάρτη 24 Απριλίου 2019
Ανισότητα υπό συνθήκη
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=27&t=64335 Έστω $\displaystyle x,y$ δύο θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει $\displaystyle {x^2} + {y^2} + x \ge {x^4} + {y^4} + {x^3}$.
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}$
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}$
Ανισότητα υπό συνθήκη
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=27&t=64335 Έστω $\displaystyle x,y$ δύο θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει $\displaystyle {x^2} + {y^2} + x \ge {x^4} + {y^4} + {x^3}$.
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}$
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}$
Πέμπτη 24 Ιανουαρίου 2019
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)