Ακέραιες λύσης εξίσωσης διαφοράς ν-οστών δυνάμεων.

Διαφορά ν-οστών δυνάμεων

Ας είναι $$x,y,n$$ θετικοί ακέραιοι με $$n>1.$$ Να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $$x^n-y^n=2^{100}$$

Λύση:

Για n=2

Αν $$n=2$$ έχουμε: $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=2^{100}.$$ Οπότε πρέπει οι αριθμοί $$x-y,x+y$$ να είναι δυνάμεις του 2. Επιπλέον $$(x-y)-(x+y)=-2y$$ άρτιος, οπότε οι αριθμοί $$x-y,x+y$$ θα είναι είτε και οι δύο άρτιοι, είτε και οι δύο περιττοί, με γινόμενο $$2^{100}.$$ Δηλαδή θα είναι και οι δύο άρτιοι με $$(x-y)>1.$$

Όμως $$y>\mathrm{0,}$$ άρα υπάρχουν ακέραιοι $$0<a<b$$ με $$a+b=100$$ ώστε:

$$\begin{array}{c}x-y=2a\\ x+y=2b\end{array}$$

απ’ όπου προκύπτει:

$$\begin{array}{c}x=2^{b-1}+2^{a-1}\\ y=2^{b-1}-2^{a-1}\end{array}$$

Άρα οι λύσεις είναι της μορφής: $$(a,b)=(\mathrm{1,}99),(\mathrm{2,}98),\mathrm{...},(\mathrm{49,}51).$$ Συνεπώς, υπάρχουν 49 λύσεις της εξίσωσης x2 − y2 = 2100.

Για n=4

$$x^4-y^4=2^{100}\iff y^4+{(2^{25})}^4=x^4,$$

η οποία δεν έχει λύση από τελευταίο θεώρημα Fermat.

 

Για n > 4

Θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις για  n > 4 άρτιο σε καμία εξίσωση της μορφής $$x^n-y^n=2k$$ , όπου k μη αρνητικός ακέραιος.

Διότι, αν υπήρχε λύση, έστω η ελάχιστη $$n=2m$$ τότε: $$(x^m-y^m)(x^m+y^m)=2^k.$$ Aπ’ όπου προκύπτει ότι $$x^m-y^m=2^l$$ για κάποιον ακέραιο $$l$$ το οποίο είναι άτοπο αφού υποθέσαμε ότι ο $$n$$ είναι ελάχιστος. Συνεπώς, δεν υπάρχει καμία λύση για $$n>4.$$

Για n περιττό

Αποδεικνύεται ότι η εξίσωση δεν έχει λύσεις ακόμα και στη γενικότερη μορφή της $$x^n-y^n=2^k,$$ όπου $$k$$ θετικός ακέραιος.

Διότι, αν υποθέσουμε ότι έχει λύση έστω $$x^n-y^n=2^k$$ όπου $$k$$ ο ελάχιστος δυνατός, τότε ισχύει ότι: $$(x-y)(x^{n-1}{x}^{n-2}y+\dots +y^{n-1})=2^k,$$ οπότε οι $$x,y$$ είτε είναι και οι δύο περιττοί, είτε και οι δύο άρτιοι.  Αν είναι περιττοί τότε ο δεύτερος παράγοντας αποτελείται από περιττό πλήθος περιττών οπότε είναι περιττός, το οποίο είναι άτοπο αφού και αυτός πρέπει να είναι δύναμη του 2. Οπότε οι $$x,y$$ είναι άρτιοι και οι δύο, έστω $$x=2a,y=2b.$$ Οπότε $$a^n-b^n=2^{k-n}$$ που για $$k\ne n$$ έχουμε άτοπο, αφού ο $$n$$ είναι ο ελάχιστος δυνατός. Συνεπώς $$k=n$$ άρα $$a^n-b^n=1$$ η οποία δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Συνεπώς, όλες οι λύσεις της εξίσωσης $$x^n-y^n=2^{100}\mathit{\epsilon ί\nu \alpha \iota }49.$$