Παρασκευή, 4 Νοεμβρίου 2016

Ακέραιες λύσης εξίσωσης διαφοράς ν-οστών δυνάμεων.


- no title specified

Διαφορά ν-οστών δυνάμεων

Ας είναι x , y , n θετικοί ακέραιοι με n > 1. Να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης x n y n = 2 100

Λύση:

Για n=2


Αν
n = 2 έχουμε: x 2 y 2 = ( x y ) ( x + y ) = 2 100 . Οπότε πρέπει οι αριθμοί x y , x + y να είναι δυνάμεις του 2. Επιπλέον ( x y ) ( x + y ) = 2 y άρτιος, οπότε οι αριθμοί x y , x + y θα είναι είτε και οι δύο άρτιοι, είτε και οι δύο περιττοί, με γινόμενο 2 100 . Δηλαδή θα είναι και οι δύο άρτιοι με ( x y ) > 1.
Όμως y > 0, άρα υπάρχουν ακέραιοι 0 < a < b με a + b = 100 ώστε:
x y = 2 a x + y = 2 b

απ’ όπου προκύπτει:

x = 2 b 1 + 2 a 1 y = 2 b 1 2 a 1
Άρα οι λύσεις είναι της μορφής: ( a , b ) = ( 1, 99 ) , ( 2, 98 ) , ... , ( 49, 51 ) . Συνεπώς, υπάρχουν 49 λύσεις της εξίσωσης x2 − y2 = 2100.

Για n=4

x 4 y 4 = 2 100 y 4 + ( 2 25 ) 4 = x 4 ,
η οποία δεν έχει λύση από τελευταίο θεώρημα Fermat.
 

Για n > 4

Θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις για  n > 4 άρτιο σε καμία εξίσωση της μορφής x n y n = 2 k , όπου k μη αρνητικός ακέραιος.
Διότι, αν υπήρχε λύση, έστω η ελάχιστη n = 2 m τότε: ( x m y m ) ( x m + y m ) = 2 k . Aπ’ όπου προκύπτει ότι x m y m = 2 l για κάποιον ακέραιο l το οποίο είναι άτοπο αφού υποθέσαμε ότι ο n είναι ελάχιστος. Συνεπώς, δεν υπάρχει καμία λύση για n > 4.

Για n περιττό

Αποδεικνύεται ότι η εξίσωση δεν έχει λύσεις ακόμα και στη γενικότερη μορφή της x n y n = 2 k , όπου k θετικός ακέραιος.
Διότι, αν υποθέσουμε ότι έχει λύση έστω x n y n = 2 k όπου k ο ελάχιστος δυνατός, τότε ισχύει ότι: ( x y ) ( x n 1 x n 2 y + + y n 1 ) = 2 k , οπότε οι x , y είτε είναι και οι δύο περιττοί, είτε και οι δύο άρτιοι.  Αν είναι περιττοί τότε ο δεύτερος παράγοντας αποτελείται από περιττό πλήθος περιττών οπότε είναι περιττός, το οποίο είναι άτοπο αφού και αυτός πρέπει να είναι δύναμη του 2. Οπότε οι x , y είναι άρτιοι και οι δύο, έστω x = 2 a , y = 2 b . Οπότε a n b n = 2 k n που για k n έχουμε άτοπο, αφού ο n είναι ο ελάχιστος δυνατός. Συνεπώς k = n άρα a n b n = 1 η οποία δεν έχει ακέραιες λύσεις.
Συνεπώς, όλες οι λύσεις της εξίσωσης x n y n = 2 100 είναι 49.
 

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου