Τα Μαθηματικά πίσω από την αξονική τομογραφία
Η αξονική τομογραφία ή Υπολογιστική τομογραφία (στα Αγγλικά αρχικά Axial Tomography, σήμερα Computed Tomography – CT) είναι ακτινολογική μέθοδος εξέτασης του ανθρώπινου σώματος. Μπορεί να απεικονίσει σε κάθετες τομές ολόκληρο το σώμα, χρησιμοποιώντας την ακτινοβολία Χ.
Υπολογιστική Τομογραφία (CT Scan)
Η υπολογιστική τομογραφία (η σάρωση CT ή CAT) έχει γίνει ένα απολύτως θεμελιώδες εργαλείο στη σύγχρονη διάγνωση της νόσου. Σε αντίθεση με τη σάρωση ακτίνων Χ, η οποία παρουσιάζει μια δισδιάστατη άποψη της γενικής πυκνότητας ιστού σε μια σαρωμένη περιοχή, μια αξονική τομογραφία επιτρέπει στους γιατρούς να δουν μια λεπτομερή τρισδιάστατη σάρωση του σώματος ενός ασθενούς, ουσιαστικά να κοιτάζει μέσα στο σώμα χωρίς διερευνητική χειρουργική επέμβαση.
Οι αρχές πίσω από την υπολογιστική τομογραφία
Οι αξονικές τομογραφίες λειτουργούν λαμβάνοντας πολλαπλές ακτίνες Χ και χρησιμοποιώντας τις «επικαλυπτόμενες» πληροφορίες για να τις συνδυάσετε σε σύνθετη τρισδιάστατη εικόνα. Από μία μόνο σάρωση ακτίνων Χ, παίρνετε πραγματικά μόνο το ισοδύναμο μιας «σκιάς» των εσωτερικών.
Παρατηρήστε πώς η σειρά ανιχνευτών στην εικόνα βλέπει μόνο μια μονοδιάστατη γραμμή μετρήσεων έντασης από το αντικείμενο που σαρώνεται. Αυτό είναι ουσιαστικά αυτό που φαίνεται σε μια κανονική ακτινογραφία, όπως οι σαρώσεις που επέστρεψαν όταν παραγγέλθηκε μια φορητή ακτινογραφία θώρακα. Καθώς λαμβάνονται περισσότερες σαρώσεις ακτίνων Χ από διαφορετικές οπτικές γωνίες, η εσωτερική δομή του αντικειμένου που σαρώνεται γίνεται πιο εμφανής.
Παρατηρήστε πώς οι «σκιές» κάθε σάρωσης αρχίζουν να αλληλεπικαλύπτονται και σχηματίζουν μια πιο σκοτεινή περιοχή στο κέντρο, εμφανίζοντας λεπτομέρειες για το εσωτερικό του σαρωμένου αντικειμένου, το οποίο διαφορετικά θα κρύβονταν μακριά από την επιφάνεια. Οι αρχές της υπολογιστικής τομογραφίας είναι σχετικά απλές στην κατανόηση, αλλά η εφαρμογή του υπολογισμού και της ανακατασκευής των συλλεγόμενων δεδομένων είναι πολύ πιο μαθηματική και απαιτητική.
Τα Μαθηματικά πίσω από το CT scan
Το πρώτο μαθηματικό εργαλείο που πρέπει να συζητήσουμε είναι ο «μετασχηματισμός ραδονίου». Ο μετασχηματισμός Radon ορίζεται ως ¨ο ακέραιος μετασχηματισμός που παίρνει μια συνάρτηση f που ορίζεται στο επίπεδο σε μια συνάρτηση Rf που ορίζεται στον (δισδιάστατο) χώρο γραμμών στο επίπεδο, της οποίας η τιμή σε μια συγκεκριμένη γραμμή είναι ίση με το ολοκλήρωμα γραμμής της συνάρτησης πάνω από αυτήν τη γραμμή. “ Εάν δεν είστε καλά έμπειροι στο λογισμό πολλαπλών μεταβλητών, αυτός ο ορισμός είναι λίγο απρόσιτος, αλλά η ιδέα είναι πραγματικά πολύ απλή.
Ο μετασχηματισμός ραδονίου ενός αντικειμένου είναι βασικά τα ανεπεξέργαστα δεδομένα που συλλέγει ο σαρωτής CT κατά τη διάρκεια της σάρωσης, τα οποία μετατρέπονται αργότερα σε ανακατασκευή της φέτας του ασθενούς αργότερα.
Φανταστείτε ότι η γραμμική συστοιχία ανιχνευτών βρίσκεται στην αριστερή πλευρά του αντικειμένου στο GIF. Το δεξί τετράγωνο δείχνει μια γραφική παράσταση των τιμών έντασης των ανιχνευτών ως συνάρτηση της γωνίας περιστροφής του αντικειμένου.
Ο μετασχηματισμός Radon ορίζεται ως:
Όπου η κατώτατη γραμμή είναι η παραμετροποίηση της ακέραιας γραμμής σε όρους γραμμής υπό γωνία α. Εδώ είναι ένα παράδειγμα του μετασχηματισμού Radon (δεξιά εικόνα) μιας κάθετης λεπτής τομής του ασθενούς και της ανακατασκευασμένης κάθετης λεπτής τομής (αριστερή εικόνα).
Οι σαρωτές CT βασικά «συλλέγουν» τους μετασχηματισμούς ραδονίου των κάθετων λεπτών τομών του σώματος των ασθενών και στη συνέχεια ανακατασκευάζουν αυτές τις μεταμορφώσεις πίσω στις κάθετες λεπτές τομές που τις δημιούργησαν.
Προσεγγίσεις
Υπάρχουν τόσο επαναληπτικές όσο και «ακριβείς» λύσεις στον μετασχηματισμό Radon που θα περάσουμε, αν και στην πράξη χρησιμοποιούνται μόνο κάποιες από αυτές.
Αρχικά, ας ακολουθήσουμε την πιο βασική προσέγγιση. Φανταστείτε ένα κομμάτι του ασθενούς σας ως δισδιάστατο πλέγμα, όπου κάθε pixel της εικόνας μπορεί να αναπαρασταθεί από καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y). Η ένταση μιας ακτινογραφίας που διέρχεται από τη φέτα του ασθενούς σας είναι βασικά το άθροισμα των εντάσεων όλων των εικονοστοιχείων από τα οποία περνά η ακτίνα. Έτσι, πραγματικά, ο μετασχηματισμός ραδονίου αντιπροσωπεύει ένα τεράστιο σύστημα ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων. Ευτυχώς, αυτές οι εξισώσεις είναι εξαιρετικά αραιές, καθώς η απλή γεωμετρία μας λέει ότι μια ακτίνα θα περάσει περίπου √n pixel κατά μέσο όρο, όπου n είναι ο συνολικός αριθμός pixel στην εικόνα.
Σε έναν τέλειο κόσμο, υπάρχουν ακριβείς λύσεις σε αυτά τα τεράστια συστήματα εξισώσεων που θα αποδώσουν ακριβώς την εικόνα της φέτας του ασθενούς. Στην πράξη, επαναληπτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις χρησιμοποιούνται για την επίλυση τέτοιων τεράστιων συστημάτων, καθώς είναι υπολογιστικά ανέφικτο να τα λύσουμε άμεσα. Αυτή η μέθοδος λύσης είναι γνωστή ως «Τεχνική ταυτόχρονης αλγεβρικής ανασυγκρότησης» (Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique) .
Δείτε το σχετικό βίντεο:
Άρθρο του Βαγγέλη Γκούμα, Μαθηματικός
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου