Σάββατο, 13 Ιανουαρίου 2018

Μία γραφή των πρώτων αριθμών

Κάθε πρώτος αριθμός $p$ γράφεται στη μορφή: $p\cong 1(mod6)$ ή $p \cong 5(mod6)$.

Δηλαδή, στη διαίρεσή του με το $6$ ένας πρώτος θα αφήνει υπόλοιπο 1 ή 5.

Πράγματι, θεωρούμε ότι $p$ είναι πρώτος και διαιρούμε με το $6$.
Έχουμε $p = 6k + y$ με το υπόλοιπο $y =0,1,2,3,4,5$.
 Και έχουμε σε κάθε περίπτωση:
Αν $y=0$ τότε $p = 6k$ που δεν είναι πρώτος.
Αν $y=1$ τότε $p = 6k+1$ που ΜΠΟΡΕΙ να είναι πρώτος.
Αν $y=2$ τότε $p = 6k+2$ που δεν είναι πρώτος.
Αν $y=3$ τότε $p = 6k+3$ που δεν είναι πρώτος.
 Αν $y=4$ τότε $p = 6k+4$ που δεν είναι πρώτος.
Αν $y=5$ τότε $p = 6k+5$ που ΜΠΟΡΕΙ να είναι πρώτος.

Για τις δύο περιπτώσεις γράφουμε ότι ΜΠΟΡΕΙ να είναι πρώτος, διότι μπορεί και να μην είναι.
Για παράδειγμα: $p = 6k +1$ για $k=3, p =19$ πρώτος, αλλά για $k=4, p= 25 $ σύνθετος !
Έτσι, οι δύο παραπάνω μορφές περιέχουν όλους τους πρώτους, αλλά και πολλούς σύνθετους αριθμούς.

Πάντως είναι βέβαιο ότι αν είναι πρώτος τότε σίγουρα δεν μπορεί να έχει υπόλοιπο $0,2,3,4$.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου